Типовые задачи >  Интегрирование функций >  Примеры

Примеры интегрирования функций

1. Если подынтегральная функция задана аналитически, то Mathcad позволяет вычислять неопределенные интегралы в символьном, а определенные – в символьном и числовом виде. Вычислительные блоки в этом случае содержат обычные математические записи:

• символьные вычисления

  

     или   

• числовые

  

2. Использовать рассмотренные в данном разделе пособия численные методы оценки определенного интеграла имеет смысл, если подынтегральная функция задана таблично или для ее вычисления требуется выполнить некоторый алгоритм. И в том, и в другом случаях можно предложить простые универсальные функции, реализующие метод трапеций в общем виде.

• Если подынтегральная функция задана таблично с равноотстоящими узлами (аргумент изменяется с одинаковым шагом), то в формуле трапеций f имеет смысл значений функции в узлах, т. е. просто ее табличные значения. Программный блок, реализующий метод, может иметь вид:

  

  Параметры функции integral: n – число шагов интегрирования (число узловых точек равно n + 1); h – шаг интегрирования; f – вектор значений подынтегральной функции.

  Пример 1: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
  

• Если подынтегральная функция вычисляется по некоторому алгоритму, то целесообразно этот алгоритм оформить в виде функции с единственным параметром – аргументом функции. Тогда можно предложить программный блок, реализующий метод трапеций, например, такой:

  

  Параметры функции fintegral: a, b – пределы интегрирования; n – число шагов интегрирования; f – имя функции, вычисляющей подынтегральное выражение.

  Пример 2: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
  

3. Аналогичный подход можно использовать и для более точного метода Симпсона. Напомним, что для применения формулы оценки определенного интеграла число шагов интегрирования n должно быть четным, и, соответственно, число точек таблично заданной функции на единицу больше.

• Если подынтегральная функция задана таблично с равноотстоящими узлами, то в формуле Симпсона f также будет иметь смысл значений функции в узлах. Программный блок, реализующий метод:

  

  Параметры функции simpson: n – число шагов интегрирования (число узловых точек равно n + 1); h – шаг интегрирования; f – вектор значений подынтегральной функции.

  Пример 3: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
  

• Если подынтегральная функция вычисляется по некоторому алгоритму, оформленному в виде функции с единственным параметром – аргументом функции, то можно предложить следующий программный блок, реализующий метод Симпсона:

  

  Параметры функции fsimpson: a, b – пределы интегрирования; n – число шагов интегрирования; f – имя функции, вычисляющей подынтегральное выражение.

  Пример 4: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
  

Используя примеры 2 и 4, можно провести сравнительное исследование точности методов трапеций и Симпсона. Если в рассмотренной задаче принять за точное решение величину W = 225.709, то этот результат с погрешностью 0.001 методом Симпсона достигается всего при 6 шагах интегрирования, в то время как методом трапеций такая точность решения получена при разбиении интервала интегрирования на 24 участка.

В примерах 1 и 3 рассмотрено применение методов вычисления определенного интеграла для таблично заданной функции с равноотстоящими узлами. При других вариантах табличного задания функции f(x) (неравноотстоящие узлы, пределы a и b не совпадают с узлами таблицы) можно воспользоваться подходящим алгоритмом интерполяции табличной функции для приближенной оценки подынтегральной функции f(x) при произвольном значении аргумента x .