Типовые задачи >  Системы линейных уравнений >  Преобразование к стандартному виду

Преобразование системы к стандартному виду

В системе линейных уравнений, приведенной к стандартному виду

• все слагаемые, содержащие неизвестные (аргументы), перенесены налево, подобные члены сгруппированы, прочие слагаемые – направо и являются свободными членами или правыми частями;
• в каждом уравнении должны быть представлены все неизвестные, которые следуют в строго одинаковой последовательности, отсутствие какого-либо аргумента в уравнении эквивалентно наличию при нем нулевого числового коэффициента;
• все коэффициенты при неизвестных образуют квадратную матрицу с числовыми элементами; вектор правых частей тоже должен содержать числовые элементы.

Преобразование исходной системы линейных уравнений высокого порядка к стандартному виду удобно выполнять путем построения таблицы коэффициентов при неизвестных и правых частей. Выбрав произвольную последовательность аргументов в уравнении, в названия граф поместим имена аргументов, строки таблицы будут соответствовать номеру уравнения, а в качестве содержимого ячеек вычислим или запишем выражения для коэффициентов при соответствующих аргументах. Правый столбец отведем под вектор свободных членов, полученных для каждого уравнения.

При таком подходе автоматически получаем матрицу коэффициентов при неизвестных А и вектор правых частей В, а после решения любым методом в векторе корней аргументы будут следовать в том порядке, как они были записаны в графах таблицы.

Рассмотрим преобразование системы к стандартному виду с использованием таблицы на конкретном примере.

Расчет выходных температур в теплообменном аппарате по ячеечной модели. Примем прямоточную схему движения потоков, число ячеек n = 3. Пусть даны:

• расходы потоков g₁ и g₂;
• средние теплоемкости теплоносителей с₁ и с₂;
• начальные температуры теплоносителей t₁₀ и t₂₀;
• коэффициент теплопередачи K;
• поверхность теплопередачи f.

Требуется найти конечные температуры теплоносителей t_1k и t_2k.

При использовании ячеечной модели гидродинамической структуры потоков аппарат условно разбивается на n ячеек одинакового объема, в пределах которых предполагается полное мгновенное перемешивание среды. Следовательно, в пределах ячейки все параметры среды принимаются одинаковыми во всех точках объема, а в установившемся режине неизменными.

Математическое описание прямоточного теплообменного аппарата по ячеечной модели может быть представлено в виде системы линейных алгебраических уравнений теплового баланса, записанных для каждого теплоносителя в каждой ячейке (неизвестные температуры в системе имеют индексы, соответствующие номеру теплоносителя и номеру ячейки):

Примем, что при преобразовании системы линейных уравнений к стандартному виду искомые температуры в каждом уравнении размещены в следующей последовательности: t₁₁, t₂₁, t₁₂, t₂₂, t_1k, t_2k. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим следующую таблицу коэффициентов при неизвестных температурах:

Показать исходную систему

Урав- нение	t11	t21	t12	t22	t1k	t2k	B
1			0	0	0	0
2			0	0	0	0
3		0			0	0	0
4	0				0	0	0
5	0	0		0			0
6	0	0	0				0

В таблице элементы матрицы коэффициентов выделены зеленым цветом, вектор свободных членов – красным.

Пример решения рассмотренной системы в матричной форме приведен в виде HTML-страницы и документа Mathcad.