Типовые задачи >  Нелинейные уравнения >  Примеры решения

Примеры решения нелинейных алгебраических уравнений

Все рассмотренные методы решения нелинейных алгебраических уравнений представляют собой итерационные процедуры, последовательно уточняющие значение корня по некоторому алгоритму или итерационной формуле. Поэтому любой метод может быть запрограммирован с помощью операторов цикла системы Mathcad, причем, видимо, следует использовать оператор while, так как конечное число циклов заранее неизвестно.

1. Метод деления отрезка пополам не имеет итерационной формулы, что приводит к наиболее сложному программному коду. Достоинство метода в том, что он безусловно сходится, если на заданном участке есть хотя бы один корень. Программный блок, реализующий метод деления отрезка пополам для поиска корня на интервале [a0, b0], может иметь вид:

Пример 1: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
Пример 2: HTML-документ; рабочий лист Mathcad

2. Метод Ньютона (касательных) предполагает вычисление производной. Если левая часть решаемого уравнения задана аналитически функцией f (x), то производную можно вычислить средствами Mathcad, например:

Тогда программный код, реализующий метод Ньютона (касательных), может иметь вид:

Пример 3: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
Пример 4: HTML-документ; рабочий лист Mathcad

3. В методе секущих проводится не касательная к функции f (x), а секущая через две точки до пересечения с осью абсцисс, поэтому требуется задание двух начальных приближений к корню:

Пример 5: HTML-документ; рабочий лист Mathcad

4. Вариант простейшего программного кода, реализующего метод простой итерации с параметром:

Пример 6: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
Пример 7: HTML-документ; рабочий лист Mathcad

5. Использование встроенной функции root для поиска приближенного значения корня уравнения f (x) = 0 предполагает оформление вычисления f (x) в виде функции, задание некоторого приближения и вызов стандартной функции root.

Параметры root – функция, вычисляющая f (x), и начальное приближение x. В качестве дополнительных параметров можно указать границы диапазона, в котором определяется корень.

Пример 8: HTML-документ; рабочий лист Mathcad

6. Компактно оформить поиск решения уравнения можно, используя ключевое слово solve (вычислить) из панели "Символика". Solve имеет два поля–заполнителя:

В левом поле помещается выражение (в нашем случае функция f (x)), а в правом – имя аргумента, значение которого необходимо найти.

Пример 9: HTML-документ; рабочий лист Mathcad

7. Не следует забывать о возможности приближенного решения алгебраических уравнений и систем с помощью функции Find.

Для численного решения задается некоторое начальное приближение для корня; решаемое уравнение в произвольной форме с использованием символа "равно" (Ctrl/=) помещается в блок Given, а затем вызывается функция Find для поиска корня.

Пример 10: HTML-документ; рабочий лист Mathcad