Типовые задачи >  Системы линейных уравнений >  Примеры решения

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений

Больщинство рассмотренных численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений предаолагвет, что исходная система преобразована к стандартному виду: выделены матрица коэффициентов при неизвестных А и вектор свободных членов В.

1. Тогда в матричной форме вычисление вектора корней Х выполняется умножением обратной матрицы А на вектор В:

X = A^–1B

В Mathcad решение задачи может отличаться способами задания матриц А и В:

• если порядок системы не выше 10, то исходные матрицы допустимо задать непосредственно в документе (Mathcad даже 11 версии не позволяет сформировать в документе матрицу, содержащую более 100 элементов, в версии 14 этих ограничений нет);

  Пример 1: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
  Пример 2: HTML-документ; рабочий лист Mathcad

• для задания матрицы коэффициентов и вектора свободных членов системы уравнений большого порядка (более 10) можно использовать специальный компонент – таблицу (функция меню Вставить – Данные – Таблица);

  Пример 3: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
  

• универсальным способом ввода больших матриц из текстовых или иных файлов является использование вставки специального компонента ввода-вывода данных (Вставить – Данные – Ввод/вывод файла); в приводимом примере данные подготовлены и сохранены в виде файла программы MS Excel.

  Пример 4: HTML-документ;
  

В последних двух примерах использованы уравнения из задачи расчета материальных потоков в замкнутой химико-технологической системе матричным методом. Исходная система и ее преобразование к стандартному виду приведены на странице, доступной по ссылке.

2. Алгоритм правила Крамера для решения системы из n уравнений может быть легко запрограммирован с помощью единственного оператора цикла по индексу столбцов матрицы A коэффициентов при неизвестных:

• в копии S матрирцы коэффициентов A заменим последовательно 1..n столбцы на вектор B;
• очередной корень находим делением определителей измененной матрицы S и матрицы A:

Пример 5: HTML-документ; рабочий лист Mathcad

3. Не следует забывать о возможности получить приближенное решение системы с помощью функции Find. В этом случае преобразование системы к стандартному виду не требуется, уравнения записываются практически в исходном виде в блоке Given с символом "Равно" (Ctrl/=). В приводимом примере показано, что корни будут получены в той последовательности, как они указаны в списке параметров функции Find.

Пример 6: HTML-документ; рабочий лист Mathcad
Пример 7: HTML-документ; рабочий лист Mathcad